1. dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümü
İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitsizliklere denklem denir.
Denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine o denklemin kökü ya da kökleri denir. Denklemin kökünü veya köklerini bulmak için yapılan işleme denklemi çözme; kök veya köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi denir.
Denklem; içindeki bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenin üssüne göre adlandırılır.
O HALDE;
5x – 5 = 15, y + 2 = 6 açık önermeleri bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
2x + y = 9 açık önermesi iki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x + y + z = 4 açık önermesi üç bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x² - 9 = 16 açık önermesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
İçinde bir tane bilinmeyeni bulunan ve üssü bir olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
Genel olarak; a,b,c Є R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = c şeklinde gösterilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
DENKLEM ÇÖZÜMÜNDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖZELLİKLER
1. Bir eşitliğin her iki yanına aynı reel sayı
eklenirse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin toplama kuralı denir.
2. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı
aynı reel sayıyla çarpılırsa, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin çarpma kuralı denir.
3. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı
aynı reel sayıya bölünürse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin bölme kuralı denir.
4. Bir denklemde herhangi bir terimi eşitliğin
bir tarafından diğer tarafına geçirerek işlem yapmak gerekiyorsa; geçirilen terimin işareti değiştirilir.
Pratik Çözüm
Bir denklemi pratik çözmek için ;
Bilinmeyenler eşitliğin bir yanında, bilinenler eşitliğin diğer yanında toplanır. Eşitliğin bir yanından diğer yanına geçen terimin işareti değişir.
Her iki yanda toplama çıkarma işlemleri yapılır ve her iki yan bilinmeyenin katsayısına bölünerek bilinmeyen yalnız bırakılır. Denklem çözülmüş olur.
ÖRNEKLER
1. x + 6 = 10 denkleminin çözüm kümesini
bulalım:
Çözüm:
x + 6 = 10 denkleminde (+6) nın toplama
işlemine göre ters elemanı olan (-6), eşitliğin her iki yanına eklenirse eşitlik bozulmaz.
Buna göre; x + 6 = 10
x + 6 + (-6) = 10 + (-6)
x + 0 = 4
x = 4 olur.
Ç = {4} olur.
Verilen bir denklemin çözümünün doğru yapılıp yapılmadığının araştırılmasına, denklemin sağlaması denir.
Bulunan kök, denklemde yerine yazılarak denklemin sağlaması yapılır böylece bulunan kökün doğruluğu kontrol edilir.
4 sayısının x + 6 = 10 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
x = 4 için x + 6 = 10
4 + 6 =10
10 = 10 olduğundan
çözüm doğrudur.
x + 6 = 10
x = 10 – 6
x = 4 ve Ç = {4} tür.
Demek ki; her iki şekilde yapılan çözüm, aynı elemanı veren çözüm kümesidir.
2. Verilen denklem parantezli olursa; aşağıda yapıldığı gibi, önce dağılma özeliği uygulanarak parantezler kaldırılır. Sonra da içerisinde bilinmeyeni olan terimler eşitliğin bir tarafına, öteki terimler de diğer tarafına geçirilir. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür.
2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )
Önce, çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özeliklerini uygulayalım
Çözüm:
2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )
2x + 6 + 7 = 25 – 2x + 4
2x + 13 = -2x + 29
2x + 2x = 29 – 13
4x = 16
x = 16 : 4
x = 4 ve Ç = { 4 } olur.
3. Verilen denklem kesirli olursa, çözümü için önce paydalar eşitlenir. Denklem paydadan kurtarılır. Bunun için, eşitliğin iki yanını ortak payda ile çarpmak gerekir. Sonra da örnek çözümlerde belirtilen kurallara göre denklem çözülür.
3.(x–2) _ 2–x _ _ x _ 5 denkleminin çözüm
4 2 ¯ 5 2 kümesini bulalım:
Çözüm:
Paydaları eşitlersek:
3.( x- 2) – 2.( 2 – x ) – 4x _ x - 10
4 ¯ 4
3x – 6 – 4 + 2x – 4x =x – 10
3x + 2x – 4x – x = -10 + 6 + 4
5x - 5x = -10 + 10
0.x = 0
Bu eşitlik bütün reel sayılar için geçerli olduğundan verilen denklemin çözüm kümesi Ç=R dır.
4. 5 sayısının, 2x – 6 = 3 denkleminin kökü olup olmadığını araştıralım:
Çözüm:
x = 5 için 2x – 6 = 3
2 . 5 – 6 = 3
10 – 6 = 3
4 ≠ 3 olur
Buna göre 5 sayısı 2x – 6 = 3 denkleminin çözüm kümesi değildir. Verilen bir sayının, verilen bir denklemin kökü olup olmadığını anlamak için verilen denklemdeki bilinmeyen sayı yerine yazılır. İşlemler yapılır.eğer eşitlik sağlanıyorsa bu sayı denklemin çözüm kümesi, sağlanamıyorsa çözüm kümesi değildir denir.
5. –5 + 6 _ 7 denklemini çözelim
3 ¯ 1
Çözüm:
–5 + 6 _ 7 (Önce paydaları eşitleyelim.)
3 ¯ 1
( 3 )
-5 + 6 _ 21 ( Çarpma kuralı )
³˙ 3 ¯ 3 ˙³
-5x + 6 = 21 (Toplama kuralı )
-5x + 6 + (-6) = 21 + (-6)
-5x = 15
-5x _ 15 (Bölme kuralı )
5 ¯ 5
x = -3 tür. Ç = {-3}
6. 2.(5x - 6) + 2 = 30 denkleminin çözüm kümesini R de bulalım
Çözüm:
Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özeliğini uygulayarak parantezi açalım.
2.(5x - 6) + 2 = 30 ise
(2 . 5x) – (2 . 6) + 2 = 30
10x – 12 + 2 = 30
10x – 10 = 30 olur.
Şimdi ( -10) un toplama işlemine göre ters elemanı olan (+10) u eşitliğin her iki tarafına ekleyelim.
10x – 10= 30 ise
10x – 10 + (+10) = 30 + (+10)
10x + 0 = 40
10x = 40 10x _ 40
10 ¯ 10
x = 4 ve Ç= {4} olur.
7. 2x – 5 = 7 denklemini R de çözelim:
Çözüm:
Eşitliğin her iki tarafına, (-5) sayısının toplama işlemine göre tersi olan (+5) sayısını ekleyelim.
2x – 5 + 5 = 7 + 5
0
2x . 0 = +12
+2. x = 12 eşitliğinin her iki tarafını (+2)’ nin çarpma işlemine göre tersi olan 1 ile çarpalım:
2
1 6
2 . . 1 _ 12 . 1
2 ¯ 2
1 1
x = 6 bulunur.
Ç = 6 şeklinde çözüm kümesi yazılır.
8. 5x + 2 = 27 denklemini R de çözelim.
Çözüm:
Eşitliğin her iki yanına (+2) nin toplama işlemine göre tersi olan (-2) sayısını ekleyelim.
5x + 2 + (-2) = 27 + (-2)
0 25
5 . x = 25
Eşitliğin her iki yanını (+5) sayısının çarpma işlemine
göre tersi olan 1 sayısı ile çarpalım.
2
1 5
5 . x . 1 _ 25 . 1
2 ¯ 2
1 1
x = 5 bulunur.
Çözüm kümesi Ç = {5} olur.
Bu son örneği kısa yolla, aşağıdaki gibi yaparız:
5x + 2 = 27
toplanan
5x = 27 – 2
çıkan
( Eşitliğin bir tarafındaki toplanan terim, eşitliğin diğer tarafına çıkan olarak geçer. )
5 . x = 27
çarpan
x = 25 : 5
bölen
( Eşitliğin bir tarafındaki çarpan terim, eşitliğin diğer tarafına bölen olarak geçer.)
x = 5 bulunur.
Ç = {5} olur
) 1985 FL-1: a>801:3+6 eşitsizliğini sağlayan en küçük “a” doğal sayısı kaçtır?
A)90 B)91 C)273 D)274
ÇÖZÜM:a>801:3+6 a>267+6 a>273 274>273
CEVAP:D
2) 1991 EML: x bir gerçek (reel) sayı olmak üzere ; 3x + x > x – 1
ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 5 3
A) x < 15 B) x > 15 C) x < 15 D)x > 15
ÇÖZÜM : 9x + 5x > 15x –15 9x –15x +5x > -15 -1 x > -15 x < 15
CEVAP:A
3) 1992 DPY: Aşağıdaki sayı doğrularının hangisinde -5 x +1 < 11
eşitsizliğinin çözüm kümesi doğru olarak gösterilmiştir?
A) ___________________
B) ___________________
C) ___________________
D) ___________________
ÇÖZÜM: -5 x < 11 – 1 -5 x < 10 -5 x < 10 x > -2
-5 -5
CEVAP:D
4) 1993 DPY: -5x +6 > -3x +4 eşitsizliğini sağlayan doğal sayıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {0} B) {1} C) {0,1} D) {1,2}
ÇÖZÜM:-5x +3x > -6 +4 -2x > -2 x < +1 0,1 < 1
-2 -2
CEVAP:C
5) 1989 EML: 2x +2 <0 ve x >-2 ise x’ in alacağı en büyük değer
kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1
ÇÖZÜM: 2x < -2 x < -1 x > -2 -1 < -1 -1 > -2
CEVAP:B
6) 1997 DPY: 2x –8 > -x +4 eşitsizliğini sağlayan x ‘in bütün d değerleri için , aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x > 4 B) x < 4 C) x > 5 D) x < 2
ÇÖZÜM: 2x +x > +4 +8 3x > 12 x > 4
CEVAP:A
7) 1999 KLJ: Aşağıdakilerin hangisinde , 3x –2 < 7 ve 4 -2x <2 e eşitsizliklerini birlikte sağlayan reel sayıların kümesi
gösterilmiştir?
A) ____________________
B) ____________________
C) ____________________
D) ____________________
ÇÖZÜM: 3x < 7+2 3x < 9 x < 3
-2x < 2-4 -2x < -2 x > 1
CEVAP:A
8) 1999 DPY: -3x +7 > -14 eşitsizliğinin tam sayılar kümesindeki
çözüm kümesi hangisidir?
A) { 7,8,9, .....} B) {....., 5,6,7 }
C) { .....,-9,-8,-7 } D) { -7,-8,-9, .....}
ÇÖZÜM: -3x > -14 –7 -3x > -21 x < +7 {.....,5,6,7 } < +7
CEVAP:B
9) 1999 ML: 3x –9 > 6x -3 eşitsizliğinin çözüm kümesi , aşağıdaki
sayı doğrularının hangisinde koyu ve kalın çizgiyle gösterilmiştir?
A) _________________
B) _________________
C) _________________
D) _________________
ÇÖZÜM: 3x –6x > -3+9 -3x > +6 x < -2
CEVAP:B
10) 1994 DPY: 2x +2 > 4 eşitsizliğini sağlayan noktalar kümesi,
aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
ÇÖZÜM: 2x > 4-2 2x > 2 x > 1
CEVAP:A
11) 1991 FL: 0 < x < 1 ise ( x+3) in en büyük değeri kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
ÇÖZÜM:En büyük x değeri istendiğine göre x ‘e 1 değerini
veririz.O zaman; (1+3) = 4
CEVAP:D
12) 1994 FL: x y olmak üzere , x ve y doğal sayılardır. x < 9 ve
y < 10 ise; x + y ‘ nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
x - y
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16
ÇÖZÜM: En büyük istenildiğine göre x ‘e 8 veririz. x-y olacağına
göre x, y ‘den daha büyük olmalıdır. O zaman y, 7 olur.
8 + 7 = 15 = 15
8 - 7 1 CEVAP:C
13) 1984 FL-2: x - 3 < 0 ve x + 2 > 0 eşitsizliklerini birlikte
sağlayan x ‘ in değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2 < x < 3 B) –2 < x < 3
C) –2 < x < 3 D) –2 < x < 3
ÇÖZÜM: x < 3 ve x > -2 (-2 < x) ; ise –2 x < x < 3
CEVAP:A
Birinci dereceden bir
bilinmeyenli denklemler
ve a 0 olmak üzere ax +b=0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x sayısına denklemin kökü, bu kökün oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir.
ax+b=0 ise sayısı denklemin köküdür.
Çözüm kümesi:
Ç= olur.
Örnekler:
1) 6x +12 =0 denkemini çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
6x= -12Þ6x+12=0
x= x=-2 Ç= olur.
2)-5x + 6 + x = 1 –x + 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
-5x+ 6+ x =1 –x +8
-4x + 6 = -x + 9
-4x +x = 9-6
-3x=3
x= -1 Ç=
3) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çöm: denklemde paydası eşitlenir:
4) x-{2x-[x+1-(3x-5)]} = 3 ise x kaçtır?
Çözüm:
[x+1-3x+5]
[-2x+6]
{2x+2x-6}
x-4x+6 = 3
-3x x= 1 Sonuç: 1à=
5) 9(1-2x) – 5(2-5x) = 20 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
9(1-2x) – 5(2-5x) = 20
9-18x-10+25x = 20
7x-1= 20
7x = 21
x = 3
Sonuç: 3
6) x 2 x 1
----- + ----- = ----- + 1----- denkleminin çözüm kümesi nedir?
3 5 5 3
Çözüm:
x 2 x 4
----- + ----- = ----- + -----
3 5 5 3
(5) (3) (3) (5)
5x+6 3x+20
------- = ------- = 5x + 6 = 3x+20
15 15
x = 7Þ2x = 14 Sonuç: 7
7) Kendisine katı eklendiğinde 72 eden sayı kaçtır?
Çözüm:
=
8) 2x+5=1 ise “x” kaçtır?
Çözüm:
2x = -4
Sonuç = {-2}Þx = -2
14) 1999 DPY:Aşağıdaki sayı doğrularının hangisinde,-3x+6 < 12
eşitsizliğinin çözüm kümesi koyu ve kalın çizgi ile gösterilmiştir
A) _____________ B) _______________
C) _____________ D) _______________
ÇÖZÜM: -3x < 12-6 -3x < 6 x > -2
-3 -3 CEVAP:C
15) 1993 FL: 0 < x < y < z ise aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?
A) x – z B) y – z C) y – x D) z - x
y - x z - y y - z y – x
ÇÖZÜM: x ‘e 1 , y ‘e 2 , z ‘e 3 veririz. O zaman ; 3-1 = 2 = 2
2-1 1
CEVAP:D
